实数与实数的定义

实数与实数的定义

　　实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。下面是小编为您收集整理的有关实数与实数的定义相关资料，希望对您有所帮助。

　　实数的定义

　　实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

　　实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

　　所有实数的集合则可称为实数系(real number system)或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

　　实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位，n为正整数)。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

　　历史

　　在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。 直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

　　根据日常经验，有理数集在数轴上似乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。以边长为1厘米的正方形为例，其对角线有多长?在规定的精度下(比如误差小于0.001厘米)，总可以用有理数来表示足够精确的测量结果(比如1.414厘米)。但是，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念;他们原以为：

　　任何两条线段(的长度)的比，可以用自然数的比来表示。

　　正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数(1 , 2 , 3 ，...)，而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击;见第一次数学危机。

　　从古希腊一直到17世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数;后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。

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